技術者ならこれだけは知っとけ！

技術系に関して、備忘録になるようまとめて記載していきます。解説項目については極力誰にでもわかるように解説していきたいと思います。

技術系力学公式集（工業力学）

工学系公式集

随時更新

慣性モーメント

1.円柱の中心軸周り

I=\frac{1}{2}mr^{2}

2.円板の直径軸周り

I=\frac{1}{12}m(3r^{2}+t^{2})

3.球

I=\frac{2}{5}mr^{2}

4.正方形の中心軸周り

I=\frac{1}{6}mw^{2}

5.角柱（回転軸に対して垂直な面の辺の長さをw、lとする）

I=\frac{1}{12}m(w^{2}+l^{2})

6.細長い棒の先端周り

I=\frac{1}{3}ml^{2}

平行軸の定理

I= I_{G}+mh^{2}

hは重心を通る回転軸に平行な距離

剛体の回転運動

f:id:mmt726zushi:20191022225828g:plain

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mgsin \alpha -F

I\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=FR

\theta=\frac{x}{r}

より

m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mgsin \alpha - \frac{1}{2} m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}

x=\frac{1}{3}gt^{2}sin \alpha

↓詳細は以下

mmt726zushi-engineer.hatenablog.jp

運動方程式

剛体の運動方程式

m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } = F

剛体の角運動方程式

m \frac { d ^ { 2 } \theta } { d t ^ { 2 } } = F r = T

運動エネルギー保存

U+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I \omega ^{2}=const

mgh+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I \omega ^{2}=const

運動量保存

運動量保存

m v _ { 1 } + m v _ { 2 } =　m v ^ { ' } _ { 1 } + m v ^ { ' } _ { 2 }

角運動量保存

r \omega=v

mvl=const

mvl=mv^{'}l^{'} とする時

r \omega=v を代入すると

ml^{2} \omega=mv^{'2}l^{'2}

すなわち　\frac{l^{'2}}{l^{2}}= \frac{ \omega } { \omega^{'}}

振動

1.引張ばね

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0

固有角振動数

\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}

固有振動数

f=\frac{\omega}{2\pi} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

周期

T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}

2.ねじりばね

I\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+k\theta=0

固有角振動数

\omega =\sqrt{\frac{k}{I}}

固有振動数

f=\frac{\omega}{2\pi} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{I}}

3.振り子ばね

k が mgh になる

I\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+mgh\theta=0

固有角振動数

\omega =\sqrt{\frac{mgh}{I}}

固有振動数

f=\frac{\omega}{2\pi} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mgh}{I}}

減衰振動

cを減衰係数と呼ぶ

運動方程式は以下となる。

m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } + c \frac { d x } { d t } + k x = 0

A・e ^ {\lambda _ { 1 } t} +B・e ^ { \lambda _ { 2 } t } =x

\lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } = \frac { -c \pm \sqrt{ c ^ { 2 } - 4 m k} } { 2m }

1. c ^ { 2 } > 4mk の時

過減衰となり振動せずに減衰する

2. c ^ { 2 } = 4mk の時

臨界減衰と呼ばれる状態となる。

時間とともに収束するがcが少しでも小さくなると不足減衰になる。

3. c ^ { 2 } ＜ 4mk の時

不足減衰となり振動しながら減衰する、減衰振動となる。

臨界減衰係数

C _ { c } = 2 \sqrt { m k }

減衰比

\zeta = \frac { c } { C _ { c } } = \frac { c } { 2 \sqrt { m k } }

減衰が働いた時の固有角振動数

\omega _ { d } = \omega _ { n } \sqrt { 1- \zeta ^ { 2 } }

\zeta ^ { 2 } は必ず正となるため

\omega _ { d } ＜ \omega _ { n } となり、

減衰すると固有角振動数は小さくなる。

周期が大きくなる、すなわちゆっくりになる。

また　\omega _ { d } = \omega _ { n } \sqrt { 1- \zeta ^ { 2 } } 　を展開すると

\omega _ { d } = \frac { \sqrt{ 4mk - c ^ { 2 } } } { 2m } となる。