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技術系に関して、備忘録になるようまとめて記載していきます。解説項目については極力誰にでもわかるように解説していきたいと思います。

工業力学【剛体（円柱）の滑り運動（並進運動）＆ころがり運動（回転運動）】

工学系解説集

1.問題
- ①斜面をころがらずに滑った場合
- ②滑らずにころがった場合
2.滑り運動（並進運動）＆ころがり運動（回転運動）の式を比べてみる。
3.目で確認

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1.問題

剛体の滑り運動＆ころがり運動の問題

角度αの斜面に置いた半径R[m]、質量m[kg]の円柱が

①斜面をころがらずに滑った場合と

②滑らずに転がった場合の

[t]秒後に移動した距離x[m]を求めよ。

初期速度は0[m/s]とする。

f:id:mmt726zushi:20191022225946p:plain — 問題図

①斜面をころがらずに滑った場合

まず運動方程式を立てます。

高校物理でやる【質量×加速度＝合力】です。

質量：m

加速度： $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$

合力：F

なので

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F$ (1)となります。

重力による力mgは斜面方向成分のみを考えるため

$F=mgsin \alpha$ (2)となります。

(1)の式に(2)式を代入すると

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mgsin \alpha$ (3)となります。

式(3)の両辺をmで割ると

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=gsin \alpha$ (4)となります。

この式より斜面を滑る物体は質量に依存しないことがわかります。

(4)式の両辺をdtで積分すると

$\frac{dx}{dt}=gsin \alpha ・t + C_{1}$ (5)となります。

$\frac{dx}{dt}$ は速度 $v$ です。　( $\frac{dx}{dt}=v$ )

初期条件t=0の時v=0であるため

$C_{1}=0$ となり、

$v=\frac{dx}{dt}=gsin \alpha ・t$ (6)となります。

(6)の両辺を再度dtで積分すると

$x=\frac{1}{2} gt^{2} sin \alpha+C_{2}$ となり、

初期条件t=0の時x=0であるため

$C_{2}=0$ となり、

$x=\frac{1}{2} gt^{2} sin \alpha$ (7)となります。

(7)の式より、t秒後にどれだけ滑ったか(x)が求められます。

②滑らずにころがった場合

同様に運動方程式を立てますが今回はころがり運動をするため、摩擦力Fが進行方向と逆方向にかかります。

上の図の様にころがった角度をθと置くと運動方程式は以下になります。

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mgsin \alpha -F$ (8)

【質量×加速度＝合力】

$I\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=FR$ (9)

回転にかかる運動方程式は

【慣性モーメント×角加速度＝合力×回転中心からの距離（トルク）】となります。

慣性モーメントって何？って思うかと思いますが、慣性モーメントは別の機会にご説明します。

「質量が物体の動かし難さ」と考えれば慣性モーメントは「物体の回転し難さ」です。

質量が大きければ大きいほど動かすのに力が必要ですが、

慣性モーメントも同様に大きければ大きいほど回転させるのに力（合力×回転中心からの距離：トルク）が必要になります。

円柱が円周方向に回転する場合の慣性モーメントは

$I=\frac{1}{2}mR^{2}$ となります。

回転量θと進んだ距離xとの関係を考えてみる。

まず円周を求める式はご存じですよね？

そう、2πrですよね。

円柱を1周転がしたとき進む距離は何になるでしょうか？

そう、2πrです！

πとは180°という意味ですので、この式の2πとは360°ということだったんですね。

つまり何が言いたいかというと、

ころがった角度に半径をかけてあげると、転がった距離が導けるのです！

つまり $\theta \times r=x$ (10)となります。

$\theta=\frac{x}{r}$ (11)に変形できます。

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$ のθに(11)の式を代入すると（問題文では半径がRなためr=Rを代入）

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}=\frac{1}{R}・\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ (12)となるため

(9)式に(12)を代入すると

$\frac{I}{R}・\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=FR$ (13)となる。

(13)式に $I=\frac{1}{2}mR^{2}$ を代入すると

$\frac{1}{2}mR^{2}・\frac{1}{R}・\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=FR$ となり、きれいに半径Rが消え、

$\frac{1}{2}m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F$ (14)となります。

この式より転がり運動は半径に依存しないことがわかります。

(14)式のFを(8)式に代入すると

$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=mgsin \alpha - \frac{1}{2} m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ 変形すると、

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{2}{3}gsin \alpha$ (15)となりmが両辺からなくなり、

この式より質量にも依存しないことがわかります。

(15)式の両辺をdtで積分すると

$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{3}gsin \alpha・t + C_{1}$

初期条件t=0の時v=0であるため

$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{3}gtsin \alpha$ (16)となる。

(16)式の両辺を再度dtで積分すると

$x=\frac{1}{3}gt^{2}sin \alpha+ C _ {2}$ となり、

初期条件t=0の時x=0であるため

$x=\frac{1}{3}gt^{2}sin \alpha$ (17)となる。

(17)の式より、t秒後にどれだけ転がったか(x)が求められます。

2.滑り運動（並進運動）＆ころがり運動（回転運動）の式を比べてみる。

$x=\frac{1}{2}gt^{2} sin \alpha$ (7)

$x=\frac{1}{3}gt^{2}sin \alpha$ (17)

ころがり運動は滑り運動に比べて同じ時間に進む距離が（ $\frac{2}{3}$ ）になることがわかります。

3.目で確認

最後に一番上に物理演算させた動画を載せていますので、物体がどう動くのか目で確認してください。

工業力学のまとめは以下をご覧ください。

mmt726zushi-engineer.hatenablog.jp