技術者ならこれだけは知っとけ！

技術系に関して、備忘録になるようまとめて記載していきます。解説項目については極力誰にでもわかるように解説していきたいと思います。

技術系力学公式集（材料力学）

工学系公式集

随時更新公式集です。

応力

\frac{P}{A}=\sigma

引張荷重による伸び

\frac{PL}{AE}=\lambda

↓詳細は以下

mmt726zushi-engineer.hatenablog.jp

ヤング率

E=\frac{\sigma}{\varepsilon }

歪み

\varepsilon=\frac{\lambda}{L}

自重による伸び

P=A\rho gx

\sigma =\rho gx

\varepsilon=\frac{\sigma}{E }=\frac{\rho gx}{E}

d\lambda=\varepsilon dx=\frac{\rho gx}{E}dx

\lambda =\int_{0}^{L} \frac{\rho gx}{E}dx

\lambda = \frac{\rho gL^{2}}{2E}

応力拡大係数

\sigma _{max}=\sigma \left ( 1+2\frac{2a}{2b} \right )

断面2次モーメント

形状 断面二次モーメント I 断面係数 Z
円形 f:id:mmt726zushi:20200208231707p:plain \frac { \pi d ^ { 4 } } { 64 } \frac { \pi d ^ { 3 } } { 32 }
円筒 f:id:mmt726zushi:20200208231702p:plain \frac { \pi ( d ^ { 4 } _ { 0 } - d ^ { 4 } _ { 1 } ) } { 64 } \frac { \pi ( d ^ { 4 } _ { 0 } - d ^ { 4 } _ { 1 } ) } { 32 d _ { 0 } }
正方形 f:id:mmt726zushi:20200208231717p:plain \frac { h ^ { 4 } } { 1 2 } \frac { h ^ { 3 } } { 6 }
長方形 f:id:mmt726zushi:20200208231712p:plain \frac { h b ^ { 3 } } {1 2 } \frac { h b ^ { 2 } } {6 }

長方形の断面2次モーメント導出

I= \int _ { A } ^ { } y ^ { 2 } d A

dA= b dy であるため

I=b \int _ { - \frac { h } { 2 } } ^ { \frac { h } { 2 } } y ^ { 2 } dy

これを解く

I = \frac { b h ^ { 3 } } { 12 }

長方形の断面係数導出

Z = \frac { I } { e }

eは中立軸からの端までの距離であるため

e = \frac { h } { 2 } より

\frac { h b ^ { 2 } } {6 } 　となる

梁のたわみ

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{M}{EI}

たわみ角

\theta =\frac{dy}{dx}=-\int \frac{M(x)}{EI}dx

たわみ量

y=\int \theta dx =-\int \int \frac{M(x)}{EI}dx

片持ち梁

Mx=-Px

より

EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-Mx=Px

EI\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}Px^{2}+C_{1}

EIy=\frac{1}{6}Px^{3}+C_{1}x+C _ {2}

x=Lでたわみ角が０となるため

C_{1}=-\frac{1}{2}PL^{2}

すなわち

\theta=\frac{P}{2EI}(x^{2}-L^{2})

y=\frac{P}{6EI}(x^{3}-3L^{2}x+2L^{3})

両端支持梁

Mx=\frac{1}{2}Pxなため

EI\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-Mx=-\frac{1}{2}Px

EI\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4}Px^{2}+C_{1}

EIy=-\frac{1}{12}Px^{3}+C_{1}x+ C _ {2}

x=0でたわみ量y=0のため

C_{2}=0

x=\frac{1}{2}Lでたわみ角\theta=0のため

C_{1}=-\frac{1}{16}PL^{2}

軸のねじり

f:id:mmt726zushi:20191027220816g:plain

比ねじり角 \theta=\frac{\phi}{L}

変形量は同じなため \gamma L=R \phi

材料の伸びフックの法則と同様に \tau = G \gamma

ある半径 r の点においての剪断応力 \tau =\frac{r}{R} \tau_{1}

\phi = \frac{LT}{GI_{p}}

I_{p}= \int _ {A}^{} r^{2} dA = \frac { \pi d^{4} } { 32 }

dA= 2 \pi r dr を代入し計算

（範囲は０からRになる）

軸にかかるトルクと伝達動力

軸のねじりの式を用いる

仕事W＝力F \times 距離(回転させた量 2 \pi R N )であるため

W = F \times 2 \pi R N

F \times R = T であるため

W = T \times 2 \pi N となる

回転数は基本的にrpm(rotations per minute)で記載するため、

回転数をN [rpm]とすると仕事率W[J/s = W]は

W = T \times 2 \pi N \div 60 となる

\therefore T = \frac { 60 W } { 2 \pi N }

1分間に行う仕事A[J=N・m]は以下となる

A = W \times 60 = F \times 2 \pi r N = 2 \pi T N

熱応力

\lambda =\alpha ・\Delta T・ L

座屈

断面2次半径

\kappa = \sqrt \frac { I } { A }

細長比

\lambda = \frac { L } { \kappa }

オイラーの公式

P = C \pi ^ { 2 } \frac { E I } { L ^ { 2 } }

※Cの値は柱の支持方法により異なる。

（１）固定端と自由端：1/4

（２）回転端と回転端：1

（３）回転端と固定端：2

（４）固定端と固定端：4

図の横軸はCの値を示している。

目視でわかる様に記載してみた。

f:id:mmt726zushi:20200126222021p:plain

歪みエネルギー

外力により物体が変形した時の変形により物体内部に蓄えられるエネルギーのことを言う。

歪エネルギーは変形させた仕事に等しくなる。

バネ

バネをL伸ばす歪エネルギーを求める。

バネをx伸ばした時の力Fはフックの法則より　 F = k x

F = k \times x となる。

そして仕事Wは力Fと変形量xの積となるため、力Fで微小変形量dx分変形させたとすると

dW = F \times d x = k x d x

これを0からLで積分すると

W = \int _ { 0 } ^ { L } F \times d x = \int _ { 0 } ^ { L } k x d x

これを積分すると以下になる

W = \frac { 1 } { 2 } k x ^ { 2 }

そして仕事Wと歪エネルギーは等しいため

U = W = \frac { 1 } { 2 } k x ^ { 2 } となる。

引っ張り垂直応力による歪エネルギー

U = \frac { 1 } { 2 } F \lambda

これを \sigma = \frac { F } { A } , \lambda = \varepsilon L , \sigma = E \varepsilon より整理すると以下になる。

U = \frac { F ^ { 2 } L } { 2 E A }

カスティリアーノの定理

全歪エネルギーから付加された荷重で偏微分するとその荷重点におけるたわみが求められる。

0からLまでに付加された歪エネルギーを求める式は以下

U= \frac { 1 } { 2 E I } \int _ { 0 } ^ { L } M ^ { 2 } d x

片持ち梁の場合 M = P x より

U= \frac { 1 } { 2 E I } \int _ { 0 } ^ { L } M ^ { 2 } d x = \frac { 1 } { 2 E I } \int _ { 0 } ^ { L } P ^ { 2 } x ^ { 2 } d x

U = \frac { P ^ { 2 } L ^ { 3 } } { 6 E I }

これをカスティリアーノの定理より荷重Pで偏微分すると以下になる

y = \frac { \partial U } { \partial P } = \frac { P L ^ { 3 } } { 3 E I }

薄肉円筒にかかる応力

軸方向にかかる応力

2 \pi R \times t \times \sigma = \pi R ^ { 2 } P

\sigma = \frac { R P } { 2 t }

円周方向にかかる応力（フープ応力）

これは軸方向の２倍の応力がかかると覚えておくと早い。

\sigma = \frac { R P } { t }